Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} – 3(m + 1)x – m – 1\) nghịch biến biến trên đoạn \(\left[ { – 1;{\rm{3}}} \right]\).

Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} – 3(m + 1)x – m – 1\) nghịch biến biến trên đoạn \(\left[ { – 1;{\rm{3}}} \right]\).

A. \(m \ge 2\).

B. \(m \ge \frac{1}{2}\).

C. \(m < \frac{1}{2}\).

D. \(m \le 2\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT .

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y’ = 3{x^2} – 6x – 3(m + 1)\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left[ { – 1;{\rm{3}}} \right]\) thì \(y’ \le 0,\,\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow y’ \le 0\), \(\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 3(m + 1) \le 0\), \(\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow 3m \ge 3{x^2} – 6x – 3\), \(\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow m \ge {x^2} – 2x – 1\), \(\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\).

Đặt \(g(x) = x{}^2 – 2x – 1\), \(\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\).

\(g'(x) = 2x – 2\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ { – 1;3} \right]\).

Khi đó \(g(1) = – 2\), \(g( – 1) = 2\), \(g(3) = 2\).

Từ đó ta có \(m \ge \mathop {\max g(x)}\limits_{\left[ { – 1,3} \right]} = 2\).

Vậy \(m \ge 2\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tính đơn điệu của hàm số