Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) số hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3{x^2} + mx + 10} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\)?

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \(5\).

D. \(6\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + mx + 10\), có đạo hàm \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 6x + m\).

Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\)thì bảng biến thiên của hàm số trong \(y = f\left( x \right)\) khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\) phải có hình dạng như sau:

Trường hợp 1: Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\)và không âm trên \(\left( { – 1;1} \right)\) tức là

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { – 1} \right) \ge 0\\f’\left( x \right) \ge 0\,,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 – m \ge 0\\m \ge 6x – 3{x^2}\,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 6.\)

Trường hợp 2: Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\)và không dương trên \(\left( { – 1;1} \right)\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { – 1} \right) \le 0\\f’\left( x \right) \le 0\,,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 – m \le 0\\m \le 6x – 3{x^2}\,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 6\\m \le – 9\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)

Kết hợp với điều kiện ta được kết quả \(m \in \left\{ {3,4,5,6} \right\}\).

Vây có \(4\) giá trị nguyên của tham số \(m\).