Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} – 2x}}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thoả mãn điều kiện hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {\left| {2m – x} \right| + 2} \right) – 1} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2020\,;\, + \infty } \right)\)?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} – 2x}}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thoả mãn điều kiện hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {\left| {2m – x} \right| + 2} \right) – 1} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2020\,;\, + \infty } \right)\)?

A. 1010.

B. 2020.

C. 1011.

D. 2019.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} – 2x}} \Rightarrow f’\left( x \right) = \left( {2x – 2} \right){e^{{x^2} – 2x}}.\)

Nhận xét \(f\left( x \right) \ge 1,\,\forall x \ge 2 \Rightarrow f\left( {\left| {2m – x} \right| + 2} \right) – 1 \ge 0,\,\forall x,\,m.\) Hơn nữa \(f’\left( x \right) > 0,\,\forall x > 1.\)

Khi đó \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {2m – x} \right| + 2} \right) – 1 \Rightarrow g’\left( x \right) = \frac{{\left( {x – 2m} \right)f’\left( {\left| {x – 2m} \right| + 2} \right)}}{{\left| {x – 2m} \right|}}.\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2020\,;\,\, + \infty } \right)\) khi và chỉ khi:

\(g’\left( x \right) \ge 0\), \(\forall x > 2020\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {x – 2m} \right)f’\left( {\left| {x – 2m} \right| + 2} \right)}}{{\left| {x – 2m} \right|}} \ge 0\), \(\forall x > 2020\)

\( \Leftrightarrow 2m \le x\), \(\forall x > 2020 \Leftrightarrow m \le 1010\).

Vậy có 1010 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC