Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3m{x^2} – 3\left( {m + 2} \right)x – m + 1} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)?

Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3m{x^2} – 3\left( {m + 2} \right)x – m + 1} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)?

A. \(4041\).

B. 4042.

C. \(2021\).

D. 4039.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3m{x^2} – 3\left( {m + 2} \right)x – m + 1\) có

\(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 6mx – 3\left( {m + 2} \right) = 3\left( {{x^2} – 2mx – m – 2} \right)\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) thì \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) \ge 0\\f’\left( x \right) = 3\left( {{x^2} – 2mx – m – 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) \le 0\\f’\left( x \right) = 3\left( {{x^2} – 2mx – m – 2} \right) \le 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy có tất cả 4041 giá trị \(m\) nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC