Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):{(x – 2)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 1)^2} = 1\) . Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc \((S)\) sao cho tiếp diện của \((S)\) tại \(M\) cắt các trục \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại các điềm \(A(a;\,\,0;\,\,0),B(0;\,\,b;\,\,0)\) mà \(a,b\) là các số nguyên dương và \(\widehat {AMB} = {90^ \circ }\) .

Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):{(x – 2)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 1)^2} = 1\) . Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc \((S)\) sao cho tiếp diện của \((S)\) tại \(M\) cắt các trục \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại các điềm \(A(a;\,\,0;\,\,0),B(0;\,\,b;\,\,0)\) mà \(a,b\) là các số nguyên dương và \(\widehat {AMB} = {90^ \circ }\) .

A. \(1\) .

B. \(4\) .

C. \(2\) .

D. \(3\) .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( {2;3; – 1} \right)\) bán kính \(R = 1\) .

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là tiếp diện của \((S)\) và \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};0} \right)\) .

Theo giả thiết ta có vuông tại \(M\)\[ \Rightarrow MH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}.\]

Mặt khác do \(\left( \alpha \right)\) là tiếp diện của \((S)\)\[ \Rightarrow IM \bot MH \Rightarrow I{M^2} + M{H^2} = I{H^2}\]

Thử lại:

. TH1: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A\left( {5;0;0} \right)}\\{B\left( {0;1;0} \right)}\end{array}} \right.\] . Gọi \(\left( \alpha \right)\) là tiếp diện của \((S)\) đi qua \(A,B\) và cắt \(Oz\) tại \(C\left( {0,0,c} \right)\) .

 Với \(c \ne 0\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right):\frac{x}{5} + \frac{y}{1} + \frac{z}{c} = 1\) .

Vì \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) nên

\(\frac{{\left| {\frac{2}{5} + 3 – \frac{1}{c} – 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{25}} + 1 + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = 1 \Rightarrow \frac{{144}}{{25}} – \frac{{24}}{{5c}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{25}} + 1 + \frac{1}{{{c^2}}} \Rightarrow c = \frac{{60}}{{59}}\) .

 Với \(c = 0\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) nhưng tiếp diện này không thỏa mãn ycbt.

Do đó trường hợp này có \(1\) điểm \(M\) thỏa mãn.

.TH2: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A\left( {2;0;0} \right)}\\{B\left( {0;3;0} \right)}\end{array}} \right.\] . Gọi \(\left( \alpha \right)\) là tiếp diện của \((S)\) đi qua \(A,B\) và cắt \(Oz\) tại \(C\left( {0,0,c} \right)\) .

 Với \(c \ne 0\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{c} = 1\) .

Vì \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) nên

\(\frac{{\left| {\frac{2}{2} + \frac{3}{3} – \frac{1}{c} – 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = 1 \Rightarrow 1 – \frac{2}{c} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{{c^2}}} \Rightarrow c = \frac{{72}}{{23}}\) .

 Với \(c = 0\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) nhưng tiếp diện này không thỏa mãn ycbt.

Do đó trường hợp này cũng có \(1\) điểm \(M\) thỏa mãn.

Vậy có \(2\) điểm \(M\) thỏa yêu cầu bài toán.

=======