Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a \left( {1; – 1;0} \right)\) và hai điểm \(A\left( { – 4;\,7;\,3} \right),\,B\left( {4;\,4;\,5} \right)\).Giả sử \(M,\,N\) là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \) và \(MN = 5\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM – BN} \right|\) bằng?

Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a \left( {1; – 1;0} \right)\) và hai điểm \(A\left( { – 4;\,7;\,3} \right),\,B\left( {4;\,4;\,5} \right)\).Giả sử \(M,\,N\) là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \) và \(MN = 5\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM – BN} \right|\) bằng?

A. \(\sqrt {77} \).

B. \(\sqrt {17} \).

C. \(7\sqrt 2 – 3\).

D. \(\sqrt {82} – 5\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \,\left( {1; – 1;0} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {k, – k;0} \right)\,\,\left( {k > 0} \right) \Rightarrow M{N^2} = 2{k^2} = 50 \Rightarrow k = 5\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5; – 5;0} \right)\). Lấy \(A’\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {MN} = \left( {5; – 5;0} \right) \Rightarrow A’\left( {1;2;3} \right)\).

Vì \(AA’NM\) là hình bình hành \( \Rightarrow AM = A’N\).

Ta có: \(\left| {AM – BN} \right| = \left| {A’N – BN} \right| \le A’B = \sqrt {17} \).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow N = A’B \cap \left( {Oxy} \right)\).

=======