Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị \(m\)để phương trình \(\left| {f\left( {\frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}}} \right)} \right| = m\) có nghiệm.

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị \(m\)để phương trình \(\left| {f\left( {\frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}}} \right)} \right| = m\) có nghiệm.

A. \( – 4 \le m \le  – 2\)

B. \(m >  – 4\)

C. \(2 < m < 4\)

D. \(2 \le m \le 4\)

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Phương pháp truyền thống

Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) là

Đặt \(t = \frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}} \Rightarrow t’ = \frac{{ – 4{x^2} + 4}}{{{{\left( {2{x^2} + 2} \right)}^2}}}\); \(t’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  – 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow t \in \left[ {1;2} \right]\).

Vậy phương trình \(\left| {f\left( {\frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}}} \right)} \right| = m\) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình \(\left| {f\left( t \right)} \right| = m\,\) có nghiệm \(t \in \left[ {1;2} \right]\)\( \Leftrightarrow 2 \le m \le 4\).

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) là

Đặt \(t = \frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}} \Rightarrow t’ = \frac{{ – 4{x^2} + 4}}{{{{\left( {2{x^2} + 2} \right)}^2}}}\); \(t’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  – 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

 Với \(2 < a < 4\).

Vậy phương trình \(\left| {f\left( {\frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}}} \right)} \right| = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(2 \le m \le 4\).

=======