Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\) và \(B\left( { – 4; – 6;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 1 = 0\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi lần lượt thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) là

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\) và \(B\left( { – 4; – 6;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 1 = 0\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi lần lượt thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) là

A. \(8.\)

B. \(10.\)

C. \(\sqrt {19} .\)

D. \(\sqrt {17} .\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right):x = 0\).

Nhận xét \(d\left[ {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right] = 1 = MN\) nên \(MN\)luôn vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\).

Ta xác định \(\overrightarrow {MN} \).

Lấy \(C\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)\). Hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(\left( {Oyz} \right)\) là \(O\left( {0;0;0} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {CO} = \left( { – 1;0;0} \right)\).

Ta dựng \(\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {MN} = \left( { – 1;0;0} \right) \Rightarrow A’\left( {2;2;1} \right)\).

Dễ thấy \(AM = A’N\). Từ đó \(AM + BN = A’N + BN \ge A’B\).

\(\overrightarrow {A’B} = \left( { – 6; – 8;0} \right) \Rightarrow A’B = 10.\)

Vậy \(\min \left( {AM + BN} \right) = 10\). Đẳng thức xảy ra khi \(A’,N,B\) thẳng hàng.

=======