Đề bài: Cho  $\begin{cases}x,y,z \in [0;1] \\ x+y+z=\frac{3}{2} \end{cases}$Tìm giá trị lớn nhất  và giá trị nhỏ nhất của  $f(x,y,z)=\cos^2 (x^2+y^2+z^2)$

Lời giải

Đề bài:
Cho  $\begin{cases}x,y,z \in [0;1] \\ x+y+z=\frac{3}{2} \end{cases}$Tìm giá trị lớn nhất  và giá trị nhỏ nhất của  $f(x,y,z)=\cos^2 (x^2+y^2+z^2)$
Lời giải

+  Tìm GTLN:
*  Theo BĐT Bunhiacopski:
            $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2=\frac{3}{4}$
* Hơn nữa:  $x^2+y^2+z^2 \leq x+y+z=\frac{3}{2}$ \Rightarrow  \frac{3}{4} \leq x^2+y^2+z^2Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow   x=y=z=\frac{1}{2}      \Rightarrow   \max f= \cos\frac{3}{4}$
+  Tìm GTNN:
  Giả sử:    $x\geq y\geq z $    $\Rightarrow  \frac{1}{2}\leq x\leq1 $
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2 =x^2+(y+z)^2-2yz=x^2+(\frac{3}{2}-x)^2-2yz$
$\leq  2x^2-3x+\frac{9}{4}$  (Do $yz>0$)
$ \leq \frac{5}{4}+2(x-1)(x-\frac{1}{2}) \leq \frac{5}{4}$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \leq \frac{5}{4}\leq \frac{\pi}{2}  \Rightarrow \cos (x^2+y^2+z^2 )\geq \cos\frac{5}{4} $
Dấu $”=”$ xảy ra chẳng hạn:  $ \begin{cases}x= 1\\ y=0\\ z=\frac{1}{2} \end{cases}       \Rightarrow  \min f=\cos\frac{5}{4} $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki