Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ ta luôn có bất đẳng thức:                 \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\)

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ ta luôn có bất đẳng thức:                 \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\)
Lời giải

Vì \(a,b,c > 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + abc = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} – ab} \right) + abc\\                                                                                               \ge \left( {a + b} \right)ab + abc = ab\left( {a + b + c} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc\left( {a + b + c} \right)}}\)

Do đó:
\(VT\le \frac{c}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{a}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} + \frac{b}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{1}{{abc}}\)      (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi