Đề bài: Cho $n,m\in N$ và $   n,m\geq 1$. chứng minh rằng:   $\sin^m x.\cos^nx\leq \sqrt{\frac{m^mn^n}{(n+m)^{n+m}}}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n,m\in N$ và $   n,m\geq 1$. chứng minh rằng:   $\sin^m x.\cos^nx\leq \sqrt{\frac{m^mn^n}{(n+m)^{n+m}}}$
Lời giải

Đặt $A=VT$ của bất đẳng thức cần chứng minh, ta có biến đổi:
  $A^2=\sin^{2m}x. \cos^{2n}x=\frac{1}{n^m.m^n}\underbrace {(n.\sin^2 x)…(n.\sin^2 x)}_{m }.\underbrace {(m.\cos^2 x)…(m.\cos^2 x)}_{n }$
            $\leq\frac{1}{n^m.m^n}[\frac{(n.\sin^2 x)+…+(n.\sin^2 x)+(m.\cos^2 x)+…+(m.\cos^2 x)} {m+n}]^{m+n}$
                             $=\frac{1}{n^m.m^n}[\frac{mn(\sin^2x+\cos^2x)}{m+n}]^{m+n}$
                             $=\frac{1}{n^m.m^n}[\frac{mn}{m+n}]^{m+n}=\frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}$
          $\Leftrightarrow| A|\leq \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}  \Rightarrow A\leq  \sqrt {\frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}}$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi :
     $n.\sin^2x=m.\cos^2x\Leftrightarrow \tan^2x=\frac{m}{n}$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi