Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)

Lời giải

Đề bài:
Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
Lời giải

Ta có: \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a}{2ab}=\frac{1}{2b}\) vì theo BĐT Cauchy: \(a^{2}+b^{2}\geq 2ab\). Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b$
Tương tự: \(\frac{b}{b^{2}+c^{2}}\leq \frac{b}{2bc}=\frac{1}{2c}\).
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow b=c$ 
\(\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{c}{2ac}=\frac{1}{2a}\)
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow c=a$ 
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
\(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)(đpcm)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi