Đề bài: Cho hệ: $ \left\{ \begin{array}{l}x^3 – y^3 = m(x-y)\\x + y =  – 1\end{array} \right. $       (*)a. Giải (*) khi $m = 3$b. Định $m$ để hệ có 3 nghiệm  $(x_1,y_1);(x_2,y_2);(x_3,y_3) $  mà  $ x_1,x_2,x_3 $  lập thành một cấp số cộng và trong đó có 2 số mà giá trị tuyệt đối lớn hơn 1.

Lời giải

Ta có:
$ \begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} – m} \right) = 0\\
x + y =  – 1
\end{array} \right.
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – y = 0\\
x + y =  – 1
\end{array} \right.(a)\\  \vee \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} – m = 0\\
x + y =  – 1
\end{array} \right.(b)
\end{array} $         
Giải hệ (a)  $  \Rightarrow x =  – \frac{1}{2},y =  – \frac{1}{2} $
Ta có: $ (b) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} – m = 0(1)\\
y =  – 1 – x(2)
\end{array} \right.  (*) $

a.    Khi m = 3  $ ( * ) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x – 2 = 0\\
y =  – 1 – x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  – 2
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x =  – 2\\
y = 1
\end{array} \right. $
Vậy khi m = 3 nghiệm của hệ (*) là: $ \left( {x,y} \right) = \left( { – \frac{1}{2}, – \frac{1}{2}} \right);\left( {1, – 2} \right);\left( { – 2,1} \right) $
b.    Hệ (*) có một nghiệm không phụ thuộc m là  $ \left( { – \frac{1}{2}, – \frac{1}{2}} \right) $
Nếu (1) có 2 nghiệm thì 2 nghiệm này đối xứng qua điểm  $ \frac{S}{2} =  – \frac{1}{2} $  và hợp với  $ x =  – \frac{1}{2} $  thành một cấp số cộng.
Muốn cho phương trình  $ f\left( x \right) = {x^2} + x + 1 – m = 0 $ 
Có hai nghiệm  $ {x_1},{x_2} $  với  $ {x_1} {x_1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( { – 1} \right) f(1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 – m 3 – m \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3
\end{array} $

=========
Chuyên mục: Các dạng hệ phương trình khác