Đề bài: Giải các phương trình sau:1)  $\left ( \frac{x+2}{x+1} \right )^{2}+\left ( \frac{x-2}{x-1} \right )^{2}-\frac{5}{2}.\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1}=0$2)  $\frac{1}{y^{3} -y^{2}+y-1}$-$\frac{4}{y+1}=\frac{y^{2}+10y}{y^{4}-1}-\frac{4y^{2}+21}{y^{3} +y^{2}+y+1}$

Lời giải

1. Điều kiên: $x\neq \pm 1$
đặt ẩn phụ: $\frac{x+2}{x+1}=u, \frac{x-2}{x-1}=v$
Phương trình trở thành: $u^{2}+v^{2}-\frac{5}{2}uv=0$
Giải ra ta được $u=2v$ hoặc $v=2u$
– Nếu $u=2v$ thì $\frac{x+2}{x+1}=2.\frac{x-2}{x-1}$, hay $2x^{2}-2x-4=x^{2}+x-2$
từ đó ta được phương trình bậc 2:  $x^{2}-3x-2=0$. Giải ra được nghiệm là $x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$
– Nếu $v=2u$ thì $2\frac{x+2}{x+1}=\frac{x-2}{x-1}$ từ đó ta được phương trình bậc 2: $x^{2}+3x-2=0$. Giải ra được nghiệm là $x_{3,4}=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}$
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$, $x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$, $x_{3}=\frac{-3+ \sqrt{17}}{2}$, $x_{4}=\frac{-3- \sqrt{17}}{2}$
2. Trước hết ta phân tích mẫu thành nhân tử:
$y^{3}-y^{2}+y-1=y^{2}(y-1)+(y-1)=(y-1)(y^{2}+1)$
$y^{4}-1=(y^{2}+1)(y^{2}-1)$
$y^{3}+y^{2}+y+1=y^{2}(y+1)+(y+1)=(y+1)(y^{2}+1)$
do đó $MC=(y^{2}+1)(y^{2}-1)$ với điều kiện $y\neq \pm 1$
Quy đồng rồi khử mẫu ta được
$y+1-4(y-1)(y^{2}+1)=y^{2}+10y-(4y^{2}+21)(y-1)$
hay $-3y+5=y^{2}-11y+21$
từ đó  có phương trình bậc 2:
$y^{2}-8y+16=0 \Leftrightarrow y=4$ (thỏa mãn điều kiện)
vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $y=4$

=========
Chuyên mục: Các dạng hệ phương trình khác