36. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,N,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(A’C’\), \(BB’\). Tính thể tích khối tứ diện \(CMNP\). 

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
36. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,N,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(A’C’\), \(BB’\). Tính thể tích khối tứ diện \(CMNP\). 

A. \(\frac{V}{8}\).

B. \(\frac{{7V}}{{48}}\).

C. \(\frac{{5V}}{{48}}\).

D. \(\frac{V}{6}\).

Lời giải

Gọi \(G = CM \cap BD\), \(I = PN \cap BD\), \(O = AC \cap BD\). 

Dễ thấy \(BP\) là đường trung bình của tam giác \(INO\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(BG = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3}BI.\)

Ta có: \(\frac{{{V_{N.CMP}}}}{{{V_{N.CMI}}}} = \frac{{NP}}{{NI}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{1}{2}{V_{N.CMI}}\).

Đặt \(S = {S_{ABCD}}\) và \(h\) là chiều cao của khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). 

Ta có \(\frac{{{S_{\Delta BMC}}}}{{{S_{\Delta IMC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}d\left( {B,MC} \right).MC}}{{\frac{1}{2}d\left( {I,MC} \right).MC}} = \frac{{BG}}{{IG}} = \frac{2}{5}\)\( \Rightarrow {S_{\Delta IMC}} = \frac{5}{2}{S_{\Delta BMC}} = \frac{5}{2}.\frac{1}{4}S = \frac{5}{8}S\).

Mà \({V_{N.IMC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta IMC}}.d\left( {N,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}.\frac{5}{8}S.h = \frac{5}{{24}}V\).

Vậy \({V_{CMNP}} = \frac{1}{2}{V_{N.CMI}} = \frac{5}{{48}}V\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)