7. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {ADC} = 120^\circ \), mặt bên \(DCC’D’\) là hình chữ nhật và tạo với đáy góc \(60^\circ \). Gọi \(M,\,N,\,P,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,A’D’,\,CC’,\,BB’\). Cho biết \(AA’ = 2a\), hãy tính thể tích khối đa diện \(MNPKA’\).

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
7. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {ADC} = 120^\circ \), mặt bên \(DCC’D’\) là hình chữ nhật và tạo với đáy góc \(60^\circ \). Gọi \(M,\,N,\,P,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,A’D’,\,CC’,\,BB’\). Cho biết \(AA’ = 2a\), hãy tính thể tích khối đa diện \(MNPKA’\).

A. \(\frac{{3{a^3}}}{{16}}\).

B. \(\frac{{9{a^3}}}{{16}}\).

C. \(\frac{{9{a^3}}}{{32}}\).

D. \(\frac{{3{a^3}}}{{32}}\).

Lời giải

Từ giả thiết bài toán ta có \(ABB’A’\) là hình chữ nhật, góc giữa mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\) và đáy là \(60^\circ .\)

Gọi \(Q\) là trung điểm của \(A’B’\). Gọi \(I,\,J\) lần lượt là giao điểm của \(A’K\) với \(MQ\), giao điểm của \(A’K\) với \(MB’\).

Ta có\(AB \bot QM\) ( do các mặt bên của khối hộp là hình chữ nhật).

Lại có \(AB \bot DM\) (do \(\Delta ADB\) là tam giác đều và \(M\)là trung điểm \(AB\))

Từ đó suy ra \(\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {ABB’A’} \right)} \right) = \left( {DM,QM} \right)\), nên \(\widehat {QMD} = 60^\circ \) hoặc \(\widehat {QMD} = 120^\circ \).

Theo chứng minh trên ta có \(AB \bot \left( {DMQ} \right)\), gọi \(H\)là hình chiếu của \(Q\) lên \(DM\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}QH \bot DM\\QH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow QH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó, chiều cao của hình hộp là \(h = QH = d\left( {Q;\,DM} \right) = QM.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Ta tính được thể tích của hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) là \(V = {S_{ABCD}}.h = {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3  = \frac{3}{2}{a^3}\).

Ta có \(\frac{{{V_{B’.A’KPN}}}}{V} = \frac{{{V_{A’.B’KP}}}}{V} + \frac{{{V_{P.A’B’N}}}}{V}\)\( = \frac{{{V_{A’.B’KP}}}}{V} + \frac{{{V_{P.A’B’N}}}}{{{V_{P.A’B’C’D’}}}}.\frac{{PC’}}{{CC’}}\)\( = \frac{{\frac{1}{3}.{S_{B’KP}}}}{{{S_{BCC’B’}}}} + \frac{{\frac{1}{3}{S_{A’B’N}}}}{{{S_{A’B’C’D’}}}}.\frac{{PC’}}{{CC’}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(MI\) là đường trung bình của hình thang \(ABKA’\) nên \(MI = \frac{{AA’ + BK}}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)

Do đó \(\frac{{{V_{M.A’KPN}}}}{{{V_{B’.A’KPN}}}} = \frac{{JM}}{{JB’}} = \frac{{MI}}{{B’K}} = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \({V_{M.A’KPN}} = \frac{3}{2}.\frac{V}{8} = \frac{3}{{16}}.\frac{{3{a^3}}}{2} = \frac{{9{a^3}}}{{32}}.\)

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)