ĐỀ BÀI:
Cho số thực \(x,\) \(y\) thỏa mãn \({2^{{x^2}}} – {2^y} = y – {x^2}.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x – 2y.\)
A. \(P = \frac{1}{4}\).
B. \(P = \frac{3}{4}\).
C. \(P = \frac{1}{3}\).
D. \(P = \frac{1}{8}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận :
Ta có \({2^{{x^2}}} – {2^y} = y – {x^2} \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} + {x^2} = {2^y} + y \Leftrightarrow f\left( {{x^2}} \right) = f\left( y \right),\) với \(f\left( t \right) = {2^t} + t.\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t \Rightarrow f’\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0,\) \(\forall t \in \mathbb{R}.\)
Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó \(f\left( {{x^2}} \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow {x^2} = y.\)
\(P = x – 2y = x – 2{x^2} = – 2{x^2} + x – \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = – {\left( {\sqrt 2 x – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{1}{8} \le \frac{1}{8}.\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{8}\) đạt được khi \(x = \frac{1}{4},\) \(y = \frac{1}{{16}}.\)
– Tư duy + C. asio:
Nhận thấy \(y = {x^2} \Rightarrow {P_{\max }} = x – 2{x^2}.\)
Phương trình bậc 2, bậc 3 thì giải tìm min – max cho nhanh nhé!
Thậm chí các bạn vẫn có thể dò bảng câu này!
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{8}\) đạt được khi \(x = \frac{1}{4},\) \(y = \frac{1}{{16}}.\)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========