Trong không gian Oxyz, cho mặt phằng \((P):3x + y – 2z + 1 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – 8}}{2} = \frac{{z – 2}}{1},{d_2}:\frac{{x – 3}}{{ – 3}} = \frac{{y – 4}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{4}.\) Đường thẳng vuông góc với \((P),\) đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phằng \((P):3x + y – 2z + 1 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – 8}}{2} = \frac{{z – 2}}{1},{d_2}:\frac{{x – 3}}{{ – 3}} = \frac{{y – 4}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{4}.\) Đường thẳng vuông góc với \((P),\) đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

A. \(\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{z}{{ – 2}}\).
B. \(\frac{{x – 3}}{{ – 3}} = \frac{{y – 4}}{{ – 1}} = \frac{z}{2}\).
C. \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 6}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\).
D. \(\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – t\\y = 8 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\); \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – 3u\\y = 4 – u\\z = – 2 + 4u\end{array} \right.\left( {u \in \mathbb{R}} \right)\)
Gọi \(A\) là giao điểm của \(d\) và \({d_1}\) \( \Rightarrow A\left( {1 – t\,;\,8 + 2t\,;\,2 + t} \right)\)
Gọi \(B\) là giao điểm của \(d\) và \({d_2}\) \( \Rightarrow B\left( {3 – 3u\,;\,4 – u\,;\, – 2 + 4u} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2 + t – 3u\,;\, – 4 – 2t – u\,;\, – 4 – t + 4u} \right)\)
Do \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng phương \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {3\,;\,1\,;\, – 2} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{2 + t – 3u}}{3} = \frac{{ – 4 – 2t – u}}{1} = \frac{{ – 4 – t + 4u}}{{ – 2}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + t – 3u = – 12 – 6t – 3u\\8 + 4t + 2u = – 4 – t + 4u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = – 2\\u = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} \left( { – 3\,;\, – 1\,;\,2} \right)\)
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\) vàcó một VTCP \(\overrightarrow {AB} \left( { – 3\,;\, – 1\,;\,2} \right)\).
Vậy PTCT \(d\): \(\frac{{x – 3}}{{ – 3}} = \frac{{y – 4}}{{ – 1}} = \frac{z}{2}\)