Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right):7x + y – 4z = 0\) và cắt hai đường thẳng \({d_1},{\rm{ }}{d_2}\) là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right):7x + y – 4z = 0\) và cắt hai đường thẳng \({d_1},{\rm{ }}{d_2}\) là

A. \(\frac{{x – 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 4}}\).
B. \(\frac{{x + 2}}{{ – 7}} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{4}\).
C. \(\frac{{x – 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{4}\).
D. \(\frac{{x – 7}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{1}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm và \(A = d \cap {d_1},B = d \cap {d_2}\) nên:
\(\begin{array}{l}A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {2a;1 – a; – 2 + a} \right)\\B \in {d_2} \Rightarrow B\left( { – 1 + 2b;1 + b;3} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( { – 2a + 2b – 1;a + b; – a + 5} \right)\end{array}\)
mà \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {7;1; – 4} \right)\)
\(d \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_p}} \) cùng phương
\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {{n_p}} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2a + 2b – 1 = 7k\\a + b = k\\ – a + 5 = – 4k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2a + 2b – 7k = 1\\a + b – k = 0\\ – a + 4k = – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 2\\k = – 1\end{array} \right.\).
Ta được: \(d\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; – 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {7;1 – 4} \right)\)
Vậy phương trình của \(d\) là: \(\frac{{x – 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 4}}\).