Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 2}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + 2z + 2 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) song song với \(\left( P \right)\), đi qua \(M\left( {2;2;4} \right)\) và cắt đường thẳng \(d\) có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 2}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + 2z + 2 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) song song với \(\left( P \right)\), đi qua \(M\left( {2;2;4} \right)\) và cắt đường thẳng \(d\) có phương trình là

A. \(\frac{{x – 2}}{9} = \frac{{y – 2}}{{ – 7}} = \frac{{z – 4}}{6}\).
B. \(\frac{{x + 2}}{9} = \frac{{y + 2}}{{ – 7}} = \frac{{z + 4}}{6}\).
C. \(\frac{{x – 2}}{{ – 9}} = \frac{{y – 2}}{{ – 7}} = \frac{{z – 4}}{6}\).
D. \(\frac{{x + 2}}{9} = \frac{{y + 2}}{{ – 7}} = \frac{{z + 4}}{{ – 6}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 2}}{2}\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 3t\\y = 2 – 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + 2z + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;3;2} \right)\).
Nhận thấy: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{u_d}} = 0\) và\(A\left( { – 1;2;2} \right) \in d\)nhưng A không nằm trên \((P)\) nên \(d//\left( P \right)\)
Giả sử \(\Delta \) cắt \(d\) tại \(N\left( { – 1 + 3t;2 – 2t;2 + 2t} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3t – 3; – 2t;2t – 2} \right)\).
Do \(\Delta //\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} \bot \overrightarrow n \), suy ra \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow n = 1\left( {3t – 3} \right) + 3\left( { – 2t} \right) + 2\left( {2t – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 7\).
Ta được \(\overrightarrow {MN} = \left( {18; – 14;12} \right)\). Khi đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;2;4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {9; – 7;6} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} \).
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{x – 2}}{9} = \frac{{y – 2}}{{ – 7}} = \frac{{z – 4}}{6}\).