Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;\,2\,;\,3} \right)\), \(A\left( {2\,;\,4\,;\,4} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – 2z + 1 = 0\), \(\left( Q \right):x – 2y – z + 4 = 0\). Đường thẳng \(d\) qua \(M\) cắt \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) lần lượt tại \(B\), \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và nhận \(AM\) là đường trung tuyến có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;\,2\,;\,3} \right)\), \(A\left( {2\,;\,4\,;\,4} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – 2z + 1 = 0\), \(\left( Q \right):x – 2y – z + 4 = 0\). Đường thẳng \(d\) qua \(M\) cắt \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) lần lượt tại \(B\), \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và nhận \(AM\) là đường trung tuyến có phương trình là

A. \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}\).
B. \(\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}\).
C. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}\).
D. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(B\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\)
Do \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(M\) là trung điểm \(BC\), suy ra \(C\left( {2 – a\,;\,4 – b\,;\,6 – c} \right)\).
Vì \(B\), \(C\) lần lượt thuộc \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b – 2c + 1 = 0\\ – a + 2b + c – 8 = 0\end{array} \right.\) (1)
\(\overrightarrow {AM} = \left( { – 1\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {2 – 2a\,;\,4 – 2b\,;\,6 – 2c} \right)\).
Do tam giác\(ABC\) cân tại \(A\), ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow a + 2b + c – 8 = 0\) (2)
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b – 2c + 1 = 0\\ – a + 2b + c – 8 = 0\\a + 2b + c – 8 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\\c = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {2\,;\, – 2\,;\,2} \right)\).
Đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1\,;\,2\,;3} \right)\) nhận \(\vec u = \left( {1\,;\, – 1\,;\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}\).