Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{z}{3}\) và \({d_2}:\frac{{x – 13}}{3} = \frac{{y – 6}}{{ – 1}} = \frac{{z – 4}}{1}\). Đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{z}{3}\) và \({d_2}:\frac{{x – 13}}{3} = \frac{{y – 6}}{{ – 1}} = \frac{{z – 4}}{1}\). Đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) có phương trình là

A. \(\frac{{x + 1}}{{20}} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 3}}{9}\).
B. \(\frac{{x + 1}}{{20}} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 3}}{9}\).
C. \(\frac{{x – 10}}{2} = \frac{{y – 7}}{3} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}\).
D. \(\frac{{x – 8}}{2} = \frac{{y – 4}}{3} = \frac{{z – 6}}{{ – 3}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(d\) là đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Vì \(M \in {d_1} \Rightarrow M\left( {2 + 3a\,;\,2 + a\,;\,3a} \right)\), \(N \in {d_1} \Rightarrow N\left( {13 + 3b\,;\,6 – b\,;\,4 + b} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {3b – 3a + 11\,;\, – b – a + 4\,;\,b – 3a + 4} \right)\)
Đường thẳng \({d_1}\) có một vec tơ chỉ phương là \({\vec u_1}\left( {3\,;\,1\,;\,3} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) có một vec tơ chỉ phương là \({\vec u_2}\left( {3\,;\, – 1\,;\,1} \right)\).
Vì \(d\) vuông góc với cả hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\), ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{{\vec u}_1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{{\vec u}_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11b – 19a = – 49\\11b – 11a = – 33\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(M\left( {8\,;\,4\,;\,6} \right);N\left( {10\,;\,7\,;\,3} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( {2\,;\,3\,;\, – 3} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {8\,;\,4\,;\,6} \right)\) nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {2\,;\,3\,;\, – 3} \right)\) làm một vec tơ chỉ phương là: \(\frac{{x – 8}}{2} = \frac{{y – 4}}{3} = \frac{{z – 6}}{{ – 3}}\).