Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y – z + 21 = 0\) và hai đường thẳng \(d:\,\frac{{x – 1}}{1} = y = \frac{{z – 2}}{2}\); \(d’:\,\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với \(\left( P \right)\) đồng thời cắt \(d\), \(d’\) và tạo với \(d\) góc \(30^\circ \).

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y – z + 21 = 0\) và hai đường thẳng \(d:\,\frac{{x – 1}}{1} = y = \frac{{z – 2}}{2}\); \(d’:\,\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với \(\left( P \right)\) đồng thời cắt \(d\), \(d’\) và tạo với \(d\) góc \(30^\circ \).

A. \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4 + 5t\\z = 10 – 5t\end{array} \right.\); \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t’\\y = 4 – t’\\z = 10 + t’\end{array} \right.\).
B. \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4 + 3t\\z = 10 – t\end{array} \right.\); \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t’\\y = – 1\\z = t’\end{array} \right.\).
C. \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\); \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t’\\y = – 1\\z = t’\end{array} \right.\).
D. \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4 + t\\z = 10 + t\end{array} \right.\); \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t’\\y = – 1\\z = t’\end{array} \right.\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \({\vec n_P} = \left( {1;1; – 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Gọi \(M\left( {1 + a;\,a;\,2 + \,2a} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(d\); \(M’\left( {3 – b;\,1 + b;\,1 – 2b} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(d’.\)
Ta có: \(\overrightarrow {MM’} = \left( {2 – b – a;\,\,1 + b – a;\,\, – 1 – 2b – 2a} \right)\).
\(MM’\,{\rm{//}}\,\left( P \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \notin \left( P \right)\\\overrightarrow {MM’} \bot {{\vec n}_P}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow b = – 2\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MM’} = \left( {4 – a;\,\, – 1 – a;\,\,3 – 2a} \right)\).
Ta có \(\cos 30^\circ = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MM’} ,{{\vec u}_d}} \right)} \right|\) \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| { – 6a + 9} \right|}}{{\sqrt {36{a^2} – 108a + 156} }}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = – 1\end{array} \right.\).
Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4 + t\\z = 10 + t\end{array} \right.\); \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t’\\y = – 1\\z = t’\end{array} \right.\).