Đồ thị hàm số\(y = {x^4} – 4{x^2}\)cắt đường thẳng \(d:y = m\) tại 4 điểm phân biệt và tạo ra các hình phắng có diện tích \({S_1},\)\({S_2},\)\({S_3}\) thỏa mãn\({S_1} + {S_2} = {S_3}\) (như hình vẽ). Giá trị \(m\) là số hữu tỷ tối giản có dạng \(m =  – \frac{a}{b}\) với\(a,\,b \in \mathbb{N}\). Giá trị cúa \(T = a – b\) bằng

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Đồ thị hàm số\(y = {x^4} – 4{x^2}\)cắt đường thẳng \(d:y = m\) tại 4 điểm phân biệt và tạo ra các hình phắng có diện tích \({S_1},\)\({S_2},\)\({S_3}\) thỏa mãn\({S_1} + {S_2} = {S_3}\) (như hình vẽ). Giá trị \(m\) là số hữu tỷ tối giản có dạng \(m =  – \frac{a}{b}\) với\(a,\,b \in \mathbb{N}\). Giá trị cúa \(T = a – b\) bằng

A. \(29\). 

B. \(3\). 

C. \(11\). 

D. \(25\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^4} – 4{x^2} – m = 0\) có biệt thức \(\Delta  = 16 + 4m > 0\) \( \Leftrightarrow m >  – 4\). Phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2 + \sqrt {4 + m} \\{x^2} = 2 – \sqrt {4 + m} \end{array} \right.\), do \(2 – \sqrt {4 + m}  > 0\)\( \Leftrightarrow m < 0\).

Vậy \( – 4 < m < 0\).

Khi đó ta có bốn nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  \pm \sqrt {2 + \sqrt {4 + m} }  =  \pm {t_1}}\\{x =  \pm \sqrt {2 – \sqrt {4 + m} }  =  \pm {t_2}}\end{array}} \right.\).

Theo tính đối xứng của đồ thị hàm trùng phương, nên để thỏa yêu cầu bài toán ta cần có

\(\int\limits_0^{{t_2}} {\left( {{x^4} – 4{x^2} – m} \right)dx}  =  – \int\limits_{{t_2}}^{{t_1}} {\left( {{x^4} – 4{x^2} – m} \right)dx} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{{t_1}} {\left( {{x^4} – 4{x^2} – m} \right)dx}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{{15}}\left( {3{x^4} – 20{x^2} – 15m} \right)\left| \begin{array}{l}{t_1}\\0\end{array} \right. = 0\)\( \Leftrightarrow 3t_1^4 – 20t_1^2 – 15m = 0\).

Mặt khác ta có \(t_1^4 – 4t_1^2 – m = 0\). Suy ra \(2t_1^2 =  – 3m \Leftrightarrow 2\sqrt {4 + m}  =  – 4 – 3m \Leftrightarrow m =  – \frac{{20}}{9}\).

Vậy \(T = a – b = 11\).