Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(4;3;5)\)và\(B( – 4; – 1; – 3)\). Xét khối nón \((N)\), có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính A B. Khi \((N)\) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \((N)\) có phương trình dạng \(2x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\) bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(4;3;5)\)và\(B( – 4; – 1; – 3)\). Xét khối nón \((N)\), có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính A
B. Khi \((N)\) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \((N)\) có phương trình dạng \(2x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\) bằng
A.4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(AB = 12\)
Gọi \(h,r\)là chiều cao và bán kính hình nón \((N)\).
\(R\) là bán kính mặt cầu \((S)\) đường kính \(AB\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) và \(H\) là tâm đường tròn đáy của \((N)\)
Để thể tích hình nón \((N)\) lớn nhất thì \(h \ge R\)
Ta có \({r^2} = {R^2} – I{H^2} = {R^2} – {(h – R)^2}\)
Thể tích khối nón \(V = \frac{1}{3}h\pi {r^2} = \frac{1}{3}h\pi {\rm{[}}{R^2} – {(h – R)^2}{\rm{] = }}\frac{\pi }{6}hh(4R – 2h) \le \frac{\pi }{6}.\frac{{{{(4R)}^3}}}{{27}}\)( BĐT Cauchy )
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(h = 4R – 2h \Leftrightarrow h = \frac{4}{3}R \Rightarrow AH = 8,BH = 4\)
Gọi \(H(x;y;z)\), khi đó \(\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \Rightarrow H\left( {\frac{{ – 4}}{3};\frac{1}{3};\frac{{ – 1}}{3}} \right)\)
PTMP chứa đường tròn đáy của \((N)\) đi qua \(H\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT là
\(\begin{array}{l} – 8\left( {x + \frac{4}{3}} \right) – 4\left( {y – \frac{1}{3}} \right) – 8\left( {z + \frac{1}{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y + 2z + 3 = 0\\ \Rightarrow b + c + d = 6\end{array}\)
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)