Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2z – 2 = 0\) và điểm \(A(0;1;1),\)\(B(1;0; – 3),\) \(C( – 1; – 2; – 3).\) Tìm tọa độ điểm \(D\) trên \((S)\) sao cho tứ diện \(ABCD\) có thể tích lớnnhất

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2z – 2 = 0\) và điểm \(A(0;1;1),\)\(B(1;0; – 3),\) \(C( – 1; – 2; – 3).\) Tìm tọa độ điểm \(D\) trên \((S)\) sao cho tứ diện \(ABCD\) có thể tích lớnnhất
A.\(D\left( {\frac{7}{3};\frac{{ – 4}}{3};\frac{{ – 1}}{3}} \right)\)
B. \(D(1;0;1)\)
C. \(D\left( {\frac{{ – 1}}{3};\frac{4}{3};\frac{{ – 5}}{3}} \right)\)
D. \(D(1; – 1;0)\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M(x;y;z)\)là điểm thuộc \((S)\)
Ta có \((ABC):2x – 2y + z + 1 = 0\)
nên \({V_{ABCD}}\) nhỏ nhất khi \(d(D;(ABC))\) lớn nhất
Đường thẳng đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với \((ABC)\) là \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = – 2t\\z = – 1 + t\end{array} \right.\)
Giao điểm của \((d)\) với \((S)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = – 2t\\z = – 1 + t\\{(x – 1)^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D\left( {\frac{7}{3};\frac{{ – 4}}{3};\frac{{ – 1}}{3}} \right)\\D\left( {\frac{{ – 1}}{3};\frac{4}{3};\frac{{ – 5}}{3}} \right)\end{array} \right.\)
Tính khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\) ta thấy \(D\left( {\frac{7}{3};\frac{{ – 4}}{3};\frac{{ – 1}}{3}} \right)\) thỏa mãn
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)