Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x – 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((P):2x – 2y – z + 9 = 0\).Tìm \(M\) trên mặt cầu \((S)\) sao cho khoảng cách từ \(I\) đến \((P)\) lớn nhất

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x – 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((P):2x – 2y – z + 9 = 0\).Tìm \(M\) trên mặt cầu \((S)\) sao cho khoảng cách từ \(I\) đến \((P)\) lớn nhất
A.\(M\left( {\frac{{29}}{3};\frac{{ – 26}}{3};\frac{{ – 7}}{3}} \right)\)
B. \(M\left( {\frac{{ – 11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\)
C. \(M\left( {\frac{{29}}{3};\frac{{26}}{3};\frac{{ – 7}}{3}} \right)\)
D. \(M\left( {\frac{{ – 29}}{3};\frac{{26}}{3};\frac{7}{3}} \right)\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3; – 2;1)\)
Ta có \(d(I,(P)) = 6 < R\) nên \((P)\) cắt \((S)\) Ta có \(d\left( {M;\left( P \right)} \right)max\) khi \(M \in d\) với \(d\) đi qua \(I\), vuông góc với \((P)\) và cắt mặt cầu tại 2 điểm. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 - 2t;{\rm{ }}I(3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t)\\z = 1 - t\end{array} \right.\) Đường thẳng \(d\) cắt \((S)\) tại \(I\) nên tọa độ \(I\) thỏa mãn phương trình của \(d\) và mặt cầu \((S)\) \({\left( {2t} \right)^2} + {\left( { - 2t} \right)^2} + {\left( { - t} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{10}}{3}\\t = - \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\) Tìm được 2 điểm \(M\). Thử lại ta được \(M\left( {\frac{{29}}{3};\frac{{ - 26}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right)\) ======== I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)