Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 9\) và điểm \(A(0;0;2)\). Mặt phẳng \((P)\) nào sau đây đi qua điểm \(A\) và cắt mặt cầu (S) theo một hình tròn có diện tích nhỏ nhất?

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 9\) và điểm \(A(0;0;2)\). Mặt phẳng \((P)\) nào sau đây đi qua điểm \(A\) và cắt mặt cầu (S) theo một hình tròn có diện tích nhỏ nhất?
A.\(x + 2y + 3z – 6 = 0\)
B. \(x + 2y + z – 2 = 0\)
C. \(3x + 2y + 2z – 4 = 0\)
D. \(x – 2y + 3z – 6 = 0\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;3)\)và bán kính \(R = 3\)
Có \(IA < R\) nên \(A\) nằm trong \((S)\) Ta có \(d(I,(P)) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \) Diện tích hình tròn nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) \(r\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d(I,(P))max = IA\) \( \Rightarrow (P)\) qua \(A\), có VTPT \(\overrightarrow {IA} \Rightarrow (P):x + 2y + z - 2 = 0\) ======== I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)