Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x + 1)^2} + {(y – 4)^2} + {z^2} = 8\) và điểm \(A\left( {3;0;0} \right)\), \(B\left( {4;2;1} \right)\) và điểm \(M\) thuộc mặt cầu \((S)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = MA + 2MB\)

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x + 1)^2} + {(y – 4)^2} + {z^2} = 8\) và điểm \(A\left( {3;0;0} \right)\), \(B\left( {4;2;1} \right)\) và điểm \(M\) thuộc mặt cầu \((S)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = MA + 2MB\)
A.\(2\sqrt 2 \)
B. \(4\sqrt 2 \)
C. \(\sqrt 2 \)
D. \(3\sqrt 2 \)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { – 1;4;0} \right)\) và \(R = 2\sqrt 2 \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \sqrt {{{(x – 3)}^2} + {y^2} + {z^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2} – 6x + 9} \)
\(\begin{array}{l} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2} – 6x + 9 + 3({x^2} + {y^2} + {z^2}) – 3({x^2} + {y^2} + {z^2})} \\ = \sqrt {4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} – 6x + 9 – 3\left( { – 2x + 8y – 9} \right)} \\ = \sqrt {4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} – 24y + 36} = 2\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2} – 6y + 9} \\ = 2\sqrt {{x^2} + {{(y – 3)}^2} + {z^2}} = 2CM\end{array}\) ( Với \(C(0;3;0)\))
Ta thấy \(IC < R\), \(IB > R\) nên \(MA + 2MB\) nhỏ nhất khi \(2(MC + MB)\) nhỏ nhất. Điều đó xảy ra khi \(M,C,B\) thẳng hàng\( \Leftrightarrow 2MC + 2MB = 2BB’ = 4\sqrt 2 \)
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)