Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36\) và điểm \(A\left( {3;\,1;\,2} \right)\). Mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm \(A\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất?

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36\) và điểm \(A\left( {3;\,1;\,2} \right)\). Mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm \(A\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất?
A.\(\left( \alpha \right):3x + 4z + 17 = 0\).
B. \(\left( \beta \right):3x + 4z – 17 = 0\).
C. \(\left( \delta \right):3x + y + 2z – 17 = 0\).
D. \(\left( \gamma \right):3x + y + 2z + 17 = 0\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;\,1;\, – 2} \right)\) và bán kính \(R = 6\).
Ta có \(IA = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5 < R\) nên điểm \(A\) nằm bên trong mặt cầu. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left( P \right)\) vuông góc với \(IA\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {3;\,\,0;\,\,4} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {3;\,\,1;\,\,2} \right)\) có phương trình là \(\left( P \right):3x + 4z - 17 = 0\). ======== I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)