Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 2\) và điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\). Xét điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\)sao cho đường thẳng\(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), \(M\)luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 2\) và điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\). Xét điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\)sao cho đường thẳng\(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), \(M\)luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
A.\(2x + 2y + 2z + 15 = 0\).
B. \(2x + 2y + 2z – 15 = 0\).
C. \(x + y + z + 7 = 0\).
D. \(x + y + z – 7 = 0\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;3;4} \right);\,\)bán kính\(R = \sqrt 2 \).
\(A\left( {1;2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA\,} = \left( { – 1; – 1; – 1} \right)\), tính được \(IA = \sqrt 3 \).

Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận \(\overrightarrow {IA\,} = \left( { – 1; – 1; – 1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được \(I{M^2} = IH.IA \Rightarrow IH = \frac{{I{M^2}}}{{IA}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\), từ đó tính được \(\overrightarrow {IH\,} = \frac{2}{3}\overrightarrow {IA\,} \) tìm được \(H\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: \( – \left( {x – \frac{4}{3}} \right) – \left( {y – \frac{7}{3}} \right) – \left( {z – \frac{{10}}{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + z – 7 = 0\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)