Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$$a.$ Chứng minh hệ thức$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}    $$b) M$ là trung điểm của $AB;P$ là trung điểm của $CD.$Chứng minh hệ thức :$\overrightarrow {MP}=\frac{1}{4}  (\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BD}    )$

Lời giải

$a.$ Ta có : $\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}      $
Kết hợp với $\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {0}   $ suy ra đpcm
$b.$ Trong tam giác $MCD,MP$ là trung tuyến thuộc cạnh $CD$ nên
$2\overrightarrow {MP}=\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD}          (1)$
Trong $\Delta ABC,CM$ là trung tuyến
$2\overrightarrow {CM}=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {CB}     (2)$
Trong tam giác $ABD,DM$ là trung tuyến
$2\overrightarrow {DM}=\overrightarrow {DA}  +\overrightarrow {DB}      (3)$
Từ $(1),(2),(3 )$ suy ra đpcm