Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$$a.$ Chứng minh hệ thức$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC} $$b) M$ là trung điểm của $AB;P$ là trung điểm của $CD.$Chứng minh hệ thức :$\overrightarrow {MP}=\frac{1}{4} (\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BD} )$
Lời giải
$a.$ Ta có : $\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD} $
Kết hợp với $\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {0} $ suy ra đpcm
$b.$ Trong tam giác $MCD,MP$ là trung tuyến thuộc cạnh $CD$ nên
$2\overrightarrow {MP}=\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD} (1)$
Trong $\Delta ABC,CM$ là trung tuyến
$2\overrightarrow {CM}=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {CB} (2)$
Trong tam giác $ABD,DM$ là trung tuyến
$2\overrightarrow {DM}=\overrightarrow {DA} +\overrightarrow {DB} (3)$
Từ $(1),(2),(3 )$ suy ra đpcm
Trả lời