Đề: Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     $Q=\sqrt{3}\cos 2A+2\cos2B+2\sqrt{3}\cos2C$

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     $Q=\sqrt{3}\cos 2A+2\cos2B+2\sqrt{3}\cos2C$

Lời giải

Viết lại $Q=2\sqrt{3}\cos2C+\sqrt{3}\cos2A+2\cos2B$
         $=2xy\cos2C+2yz\cos2A+2zx\cos2B$ (2)
$\Rightarrow \begin{cases}2xy=2\sqrt{3} \\ 2yz=\sqrt{3} \\  2xz=2 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}x=\sqrt{2} \\ y=\sqrt{\frac{3}{2}} \\  z=\frac{1}{\sqrt{2}}   \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2=2 \\ y^2=\frac{3}{2} \\  z=\frac{1}{2}   \end{cases}$. Theo  $(2): Q \geq -(x^2+y^2+z^2)=-4$
Dâu đẳng thức có khi và chỉ khi $\frac{\sin 2A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin 2B}{\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sin 2C}{\frac{1}{\sqrt{2}} }  \Rightarrow \begin{cases}A=45^0 \\ B=60^0 \\ C=75^0 \end{cases}$
Vậy GTNN của $Q$ là 
$-4$