Đề: Chứng minh rằng nếu $0

Ngày 14/03/2020 - Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số

Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: $\frac{1}{a}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{b} $ Xét hàm số $f(x)=\ln x$ với $x>0$. Hàm số này liên tục và có đạo hàm $f'(x)=\frac{1}{x} $ trên $(0;+\infty )$. Xét trên đoạn $[b;a]$, theo định lí La-grăng.
$\exists c\in (b;a): f'(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b} $
Mà $f'(c)=\frac{1}{c}\in (\frac{1}{a};\frac{1}{b}) $ nên $\frac{1}{a}<\frac{f(a)-f(b)}{a-b}<\frac{1}{b} $ (đpcm)