Đề bài: Cho hàm số: $ y = mx^3 – 3mx^2 + (2m + 1)x + 3 – m (C_m) $ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của $ (C_m) $ luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
$ y’ = 3m{x^2} – 6mx + 2m + 1 $ .
Hàm số có cực đại, cực tiểu $ \Leftrightarrow y’ $ có 2 nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow m \ne 0 $ và $ \Delta ‘ = 9{m^2} – 3m(2m + 1) > 0 \Leftrightarrow $ $ m 1 $ .
“Chia” y cho y’, ta được kết quả:
$ y = \frac{{x – 1}}{3}.y’ + \frac{{ – 2m + 2}}{3}x + \frac{{10 – m}}{3} \Rightarrow y = \frac{{ – 2m + 2}}{3}x + \frac{{10 – m}}{3} $ là phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị.
Giả sử đường thẳng này luôn qua I(x,y) cố định với mọi m
Ta cần tìm x,y để $\frac{-2m}{3}x=\frac{-m}{3} \Rightarrow x=\frac{-1}{2}$ , thay vào được y=3.
Vậy đường thẳng này luôn qua điểm $ I( – \frac{1}{2};3) $ cố định.
Trả lời