Bài 1. Quy tắc đếm – Chương 2 – Đại số 11

Quy tắc cộng

Có \(k\) phương án \({A_1},{A_2},{A_3},…,{A_k}\) để thực hiện công việc. Trong đó:

– Có \({n_1}\) cách thực hiện phương án \({A_1}\),

– Có \({n_2}\) cách thực hiện phương án \({A_2}\)

…

– Có \({n_k}\) cách thực hiện phương án \({A_k}\).

Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: \({n_1} + {n_2} + … + {n_k}\) cách.

Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của \(A \cup B\) bằng tổng số phần tử của \(A\) và của \(B\), tức là: \(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right|\).

Ví dụ:  Đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, máy bay. Biết có \(10\) chuyến ô tô, \(2\) chuyến tàu hỏa và \(1\) chuyến máy bay có thể vào được TP. Hồ Chí Minh. Số cách có thể đi để vào TP. Hồ Chí Minh từ Hà Nội là:

Hướng dẫn:

Có \(3\) phương án đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh là: ô tô, tàu hỏa, máy bay.

– Có \(10\) cách đi bằng ô tô (vì có \(10\) chuyến).

– Có \(2\) cách đi bằng tàu hỏa (vì có \(2\) chuyến).

– Có \(1\) cách đi bằng máy bay (vì có \(1\) chuyến).

Vậy có tất cả \(10 + 2 + 1 = 13\) cách đi từ HN và TP.HCM.

Quy tắc nhân

Có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},…,{A_k}\) để thực hiện công việc.

– Có \({n_1}\) cách thực hiện công đoạn \({A_1}\).

– Có \({n_2}\) cách thực hiện công đoạn \({A_2}\).

…

– Có \({n_k}\) cách thực hiện công đoạn \({A_k}\).

Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: \({n_1}.{n_2}…..{n_k}\) cách.

Ví dụ:  Mai muốn đặt mật khẩu nhà có \(4\) chữ số. Chữ số đầu tiên là một trong \(3\) chữ số \(1;2;0\), chữ số thứ hai là một trong \(3\) chữ số \(6;4;3\), chữ số thứ ba là một trong \(4\) chữ số \(9;1;4;6\) và chữ số thứ tư là một trong \(4\) chữ số \(8;6;5;4\). Có bao nhiêu cách để Mai đặt mật khẩu nhà?

Hướng dẫn:

Việc đặt mật khẩu nhà có \(4\) công đoạn (từ chữ số đầu tiên đến chữ số cuối cùng).

– Có \(3\) cách thực hiện công đoạn 1 (ứng với \(3\) cách chọn chữ số đầu tiên).

– Có \(3\) cách thực hiện công đoạn 2 (ứng với \(3\) cách chọn chữ số thứ hai).

– Có \(4\) cách thực hiện công đoạn 3 (ứng với \(4\) cách chọn chữ số thứ ba).

– Có \(4\) cách thực hiện công đoạn 4 (ứng với \(4\) cách chọn chữ số thứ tư).

Vậy có tất cả \(3.3.4.4 = 144\) cách để Mai đặt mật khẩu nhà.

Ví dụ 1:

Bạn cần mua một áo sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Áo cỡ 30 có 3 màu khác nhau, áo cỡ 32 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách lựa chọn ?

Hướng dẫn giải:

Công việc ta cần thực hiện trong bài toán này là mua một chiếc ao sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Để thực hiện công việc này ta có hai phương án.

Phương án 1 : Mua áo cỡ 30: Phương án này ta có 3 cách chọn (chọn một trong ba màu).

Phương án 2 : Mua áo cỡ 32: Phương án này ta có 4 cách chọn.

Vậy ta có cả thảy \(3 + 4 = 7\) cách lựa chọn.

Ví dụ 2:

Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và 7 cuốn sách anh văn khác nhau. Một học sinh được chọn một quyển sách trong các quyển sách trên. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn.

Hướng dẫn giải:

Để chọn một cuốn sách trong những cuốn sách trên ta có các phương án sau.

Phương án 1:  Cuốn sách chọn là cuốn sách Toán: Ta có 10 cách chọn

Phương án 2:  Cuốn sách chọn là cuốn sách Văn: Ta có 11 cách chọn

Phương án 3:  Cuốn sách chọn là cuốn sách anh văn: Ta có 7 cách chọn

Vậy có \(10 + 11 + 7 = 28\) cách lựa chọn.

Ví dụ 3:

Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người.

Hướng dẫn giải:

Để xếp A ta có 3 cách lên một trong ba toa.

Với mỗi cách xếp A ta có 3 cách xếp B lên toa tàu.

Với mỗi cách xếp A, B ta có 3 cách xếp C lên toa tàu.

Với mỗi cách xếp A, B, C ta có 3 cách xếp D lên toa tàu.

Vậy có \(3.3.3.3 = 81\) cách xếp 4 người lên toa tàu.

Ví dụ 4:

Cho các chữ số 1, 2, 3,…, 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số

a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau.

b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt quá 2011.

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần lập \(x = \overline {abcd} \), \(a,b,c,d \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\)

a) Có \(9.8.7.6 = 3024\) số

b) Vì \(x\) chẵn nên \(d \in \left\{ {2,4,6,8} \right\}\). Đồng thời \(x \le 2011 \Rightarrow a = 1\)

\(a = 1 \Rightarrow a\)  có 1 cách chọn, khi đó \(d\) có 4 cách chọn; \(b,c\) có \(7.6\) cách

Suy ra có: \(1.4.6.7 = 168\) số

Ví dụ 5:

Từ các số \(1,2,3,4,5,6,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần lập \(x = \overline {abcd} \); \(a,b,c,d \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\}\) và \(a,b,c,d\) đôi một khác nhau.

Vì \(x\) chia hết cho 5 nên \(d\) chỉ có thể là 5 \( \Rightarrow \) có 1 cách chọn d.

Có 6 cách chọn a, 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.

Vậy có \(1.6.5.4 = 120\) số thỏa yêu cầu bài toán.