Câu hỏi:
Cho số phức \(z \ne 0\) sao cho z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{1 + {z^2}}}\) là số thực. Tính \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}}.\)
- A. \(\frac{1}{5}.\)
- B. \(\frac{1}{2}.\)
- C. \(2.\)
- D. \(\frac{1}{3}.\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: B
Đặt \(z = a + bi\left( {b \ne 0} \right) \Rightarrow {z^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi \Rightarrow \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} – {b^2} + 2abi}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} – {b^2} + 2abi}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {1 + {a^2} – {b^2} – 2abi} \right)}}{{{{\left( {1 + {a^2} – {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{a + {a^3} – a{b^2} – 2{a^2}bi + bi + {a^2}bi – {b^3}i + 2a{b^2}i}}{{{{\left( {1 + {a^2} – {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{(a + {a^3} + a{b^2}) + ( – {a^2}b + b – {b^3})i}}{{{{\left( {1 + {a^2} – {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}} \in \mathbb{R}\end{array}\)
Hay: \(b – {b^3} – {a^2}b = 0 \Leftrightarrow b(1 – {b^2} – {a^2}) = 0 \Leftrightarrow 1 – {b^2} – {a^2} = 0\) (Do \(b \ne 0\) )
Vậy \({a^2} + {b^2} = 1.\)
Vậy: \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.\)
Trả lời