Đề bài: Tìm số phức z có \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {z + i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

Đặt \(z = a + bi\) thì: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\left| {z + i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} \)

Khi đó ta có: \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow b \le 1\)

\(\left| {z + i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2b + 1}  = \sqrt {2b + 2}  \le \sqrt {2.1 + 2}  \le 2\)

Do đó, giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi: \(a = 0;b = 1\) và \(z = i.\)