Câu hỏi:
Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa điều kiện \(\left( {z – 2} \right)\left( {\overline z + 2i – 1} \right)\) là số thực.
- A. \(z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
- B. \(z = 1 + 2i.\)
- C. \(z = \frac{8}{5} – \frac{4}{5}i.\)
- D. \(z = 1 – 2i.\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Gọi \(z = x + yi.\)
\(\begin{array}{l}\left( {z – 2} \right)\left( {\overline z + 2i – 1} \right) = \left( {x + yi – 2} \right)\left( {x – yi + 2i – 1} \right)\\ & & \,\,\,\,\,\, = \left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) – y\left( {2 – y} \right) + \left[ {\left( {x – 2} \right)\left( {2 – y} \right) + \left( {x – 1} \right)y} \right]i\end{array}\)
\(\left( {z – 2} \right)\left( {\overline z + 2i – 1} \right)\) là số thực \( \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {2 – y} \right) + \left( {x – 1} \right)y = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + y – 4 = 0 \Leftrightarrow y = 4 – 2{\rm{x}}\)
Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 – 2{\rm{x}}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\rm{x}}^2} – 16{\rm{x}} + 16} = \sqrt {5{{\left( {x – \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)
\({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow x = \frac{8}{5} \Rightarrow y = \frac{4}{5} \Rightarrow z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
Trả lời