Câu hỏi:
Cho các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {z + 2 – 2i} \right| = \left| {z – 4i} \right|,w = iz + 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left | w \right |\)
- A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- B. 2
- C. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
- D. \(2\sqrt{2}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\)
Khi đó \(z + 2 – 2i = a + 2 + \left( {b – 2} \right)i\) và \(z – 4i = a + \left( {b – 4} \right)i\)
Nên ta có \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b – 4} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 2 \Leftrightarrow b = 2 – a\)
Khi đó \(w = iz + 1 = \left( {a + bi} \right)i + 1 = 1 – b + ai\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a – 1} \right)}^2}}\)
Dễ thấy
\({a^2} + {\left( {a – 1} \right)^2} = 2{a^2} – 2a + 1 = 2{\left( {a – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow {\min _{\left| w \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Trả lời