Câu hỏi:
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x.\cos x,\) biết \(F\left( 0 \right) = \pi .\) Tính \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\)
- A. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4} + \pi .\)
- B. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi .\)
- C. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – \frac{1}{4} + \pi .\)
- D. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – \pi .\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Xét tích phân:\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x\cos x{\rm{dx}}} \)
Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x\cos x{\rm{dx}}} = \int\limits_0^1 {{u^3}du} = \left. {\frac{1}{4}{u^4}} \right|_0^1 = \frac{1}{4} = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – F(0)\\ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4} + \pi .\end{array}\)
======
Xem lý thuyết Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân.
Trả lời