Đề bài: Tìm tham số m đề phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm.

Điều kiện \(x > 0\)

+ Với \(m = 0\), phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất \(x = 1\)

+ Với \(m > 0\), xét hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} – \ln x = 0\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có với \(x > 0\) thì:

\(f’\left( x \right) = 4m{x^3} – \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}};f’\left( x \right) 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\).

Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} – \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln \left( {4m} \right) =  – \frac{1}{4} \Leftrightarrow \ln \left( {4m} \right) =  – 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)