Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{z}{3}\) và điểm \(M\left( {3;5;1} \right).\) Tìm tọa độ điểm N là đối xứng của M qua đường thẳng d.

VTCP của d là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua M và vuông góc với d có phương trình là:

\(\left( P \right):2\left( {x – 3} \right) + 1.\left( {y – 5} \right) + 3\left( {z – 1} \right) = 0\,\)hay \(\,\left( P \right):2x + y + 3z – 14 = 0.\)

Gọi \(I = \left( P \right) \cap d.\)

Khi đó \(I\left( {1;3;3} \right).\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} – {x_M} = 2.1 – 3 =  – 1\\{y_N} = 2{y_I} – {y_M} = 2.3 – 5 = 1\\{z_N} = 2{z_I} – {z_M} = 2.3 – 1 = 5\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { – 1;1;5} \right).\)