Đề: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 200km. Vận tốc của dòng nước là 8km/h. nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong 1 giờ được cho bởi công thức:\(E(v) = c{v^3}t\) (trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun). Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Ta có \(200 = \left( {v – 8} \right).t \Rightarrow t = \frac{{200}}{{v – 8}}\). Khi đó \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{200}}{{v – 8}}\).

Do c là hằng số nên để năng lượng tiêu hao ít nhất thì \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{200}}{{v – 8}}\) nhỏ nhất. Xét hàm số f(v) trên \(\left( {8; + \infty } \right)\)

\(f’\left( v \right) = 200.\frac{{3{v^2}\left( {v – 8} \right) – {v^3}}}{{{{\left( {v – 8} \right)}^2}}} = 200.\frac{{2{v^3} – 24{v^2}}}{{{{\left( {v – 8} \right)}^2}}}\)

\(f’\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 12\)

Lập bảng biến thiên ta kiểm tra được hàm số \(f(v)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại v=12.