Đề: Tìm số thực m lớn nhất để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {1 – 2m} \right){x^2} + m + 2\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).  

Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {1 – 2m} \right){x^2} + m + 2\) 

Hàm số \(f(x)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(f’\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x\in \left( {0; + \infty } \right)\) và phương trình \($f’\left( x \right) =0\) có hữa hạn nghiệm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(y’ = {x^2} + 2\left( {1 – 2m} \right)x \ge 0\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 4mx \ge 0\\ \Leftrightarrow x + 2 – 4m \ge 0\,(Do\,x > 0)\\ \Leftrightarrow m \le \frac{{x + 2}}{4} \end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{4}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Để \(m \le g\left( x \right)\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(m \le \frac{1}{2}\) .

Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn đề bài là \(m = \frac{1}{2}\).