Đề: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} – mx – 10\) đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\({y^/} = {x^2} + 4x – m\)

Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) khi \({y^/} \ge 0{\rm{ }},\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x – m \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x \ge m\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 4x\) trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\)

Ta có: \({f^/}(x) = 2x + 4 > 0{\rm{ }},\forall x \in [0, + \infty )\)

\(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)

Vậy \(m\leq 0\) hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\).