Câu 1: Trang 90 – sgk giải tích 12
Hãy nêu các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Hướng dẫn giải:
Tính chất của lũy thừa với số mũ thực:
Cho a, b là những số thực dương; $\alpha$, $\beta$ là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:
$a^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ $\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha -\beta }$ $(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta }$ $(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }b^{\alpha }$ $(\frac{a}{b})^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}$ Nếu $a>1$ => $a^{\alpha }>a^{\beta }<=> \alpha >\beta $ Nếu $a<1$ => $a^{\alpha }<a^{\beta }<=> \alpha >\beta $ |
****************
Câu 2: Trang 90 – sgk giải tích 12
Hãy nêu các tính chất của hàm lũy thừa.
Hướng dẫn giải:
Tính chất của hàm lũy thừa $y=a^{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$
***************
Câu 3: Trang 90 – sgk giải tích 12
Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Hướng dẫn giải:
Tính chất của hàm số mũ $y=a^{x}$
Tính chất của hàm số lôgarit
Câu 4: Trang 90 – sgk giải tích 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y=\frac{1}{3^{x}-3}$
b) $y=\log\frac{x-1}{2x-3}$
c) $y=\log\sqrt{x^{2}-x-12}$
d) $y=\sqrt{25^{x}-5^{x}}$
Hướng dẫn giải:
a) Hàm số xác định <=> $3^{x}-3\neq 0<=>3^{x}\neq 3<=>x\neq 1$
=> Tập xác định là: $D=R$\{1}.
b) Hàm số xác định <=> $\frac{x-1}{2x-3}>0<=>(x-1)(2x-3)>0$
<=> $x<1$ hoặc $x>\frac{3}{2}$
<=> $x\in (-\infty ;1)\cup (\frac{3}{2};+\infty )$
=> Tập xác định là: $D= (-\infty ;1)\cup (\frac{3}{2};+\infty )$
c) Hàm số xác định <=> $x^{2}-x-12>0$
<=> $x<-3$ hoặc $x>4$
<=> $x\in (-\infty ;-3)\cup (4;+\infty )$
=> Tập xác định là: $D= (-\infty ;-3)\cup (4;+\infty )$
d) Hàm số xác định <=> $25^{x}-5^{x} \geq 0<=>5^{2x}-5^{x} \geq 0$
<=> $2x-x\geq 0<=> x \geq 0$
=> Tập xác định là: $D=[0;+\infty )$
*********************
Câu 5: Trang 90 – sgk giải tích 12
Biết $4^{4}+ 4^{-x} = 23$.
Hãy tính: $2^{x} + 2^{-x}$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $4^{4}+ 4^{-x}=(2^{x} + 2^{-x})^{2}-2$
Mà $4^{4}+ 4^{-x} = 23$.
=> $2^{x} + 2^{-x}=25-2=23$
Vậy $2^{x} + 2^{-x}=23$.
************************
Câu 6: Trang 90 – sgk giải tích 12
Cho $\log_{a}b=3$,$\log_{a}c=-2$ . Hãy tính $\log_{a}x$ với:
a) $x=a^{3}b^{2}\sqrt{c}$
b) $x=\frac{a^{4}\sqrt[3]{b}}{c^{3}}$
Hướng dẫn giải:
a) Với $x=a^{3}b^{2}\sqrt{c}$
$\log_{a}x=\log_{a}a^{3}b^{2}\sqrt{c}$
= $\log_{a}a^{3}+\log_{a}b^{2}+\log_{a}\sqrt{c}$
= $3+2\log_{a}b+\frac{1}{2}\log_{a}c$
= $3+2.3+\frac{1}{2}(-2)=8$
b) Với $x=\frac{a^{4}\sqrt[3]{b}}{c^{3}}$, ta có:
$\log_{a}x=\log_{a}\frac{a^{4}\sqrt[3]{b}}{c^{3}}$
= $\log_{a}a^{4}+\log_{a}\sqrt[3]{b}-\log_{a}c^{3}$
= $4+\frac{1}{3}\log_{a}b-3\log_{a}c$
= $4+\frac{1}{3}.3-3(-2)=11$
*****************
Câu 7: Trang 90 – sgk giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a) $3^{x+4} + 3.5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$
b) $25^{x}– 6.5^{x} + 5 = 0$
c) $4.9^{x} + 12^{x} – 3.16^{x} = 0$
d) $\log_{7}(x-1)\log_{7}x = \log_{7}x$
e) $\log_{3}x+\log_{\sqrt{3}}x+\log_{\frac{1}{3}}x=6$
g) $\log_{\frac{x+8}{x-1}}=\log x$
Hướng dẫn giải:
a) $3^{x+4} + 3.5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$
<=> $3^{x}.3^{4}+3.5^{x}.5^{3}=5^{x}.5^{4}+3^{x}.3^{3}$
<=> $(3^{4}-3^{3}).3^{x}=(5^{4}-3.5^{3}).5^{x}$
<=> $2.3^{x+3}=2.5^{x+2}$
<=> $(\frac{3}{5})^{x+3}=1=(\frac{3}{5})^{0}$
<=> $x+3=0<=> x=-3$
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=-3$.
b) $25^{x}– 6.5^{x} + 5 = 0$
Đặt $5^{x}=a, (a>0)$
<=> $a^{2}-6a+5=0$
<=> $a=1$ hoặc $a=5$ (t/m)
<=> $\left\{\begin{matrix}5^{x}=1 & \\ 5^{x}=5 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=0 & \\ x=1 & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình trên có nghiệm $\left\{\begin{matrix}x=0 & \\ x=1 & \end{matrix}\right.$
c) $4.9^{x} + 12^{x} – 3.16^{x} = 0$
<=> $4(\frac{9}{12})^{x}+1-3(\frac{16}{12})^{x}=0$
<=> $4(\frac{3}{4})^{x}+1-3(\frac{4}{3})^{x}=0$
Đặt $(\frac{3}{4})^{x}=a,(a>0)$
<=> $4a+1-\frac{3}{a}=0$
<=> $4a^{2}+a-3=0$\
<=> $a=\frac{3}{4}=(\frac{3}{4})^{x}$
<=> $x=1$ (t/m)
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=1$.
d) $\log_{7}(x-1)\log_{7}x = \log_{7}x$
Đk: $x-1>0 <=> x>1$
<=> $\log_{7}x(\log_{7}(x-1)-1) = 0$
<=> $\log_{7}x=0$ hoặc $\log_{7}(x-1)-1=0$
<=> $x=1$ hoặc $x-1=7$
<=> $x=1$ ( loại vì $x>1$) hoặc $x=8$ (t/m)
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=8$.
e) $\log_{3}x+\log_{\sqrt{3}}x+\log_{\frac{1}{3}}x=6$
Đk: $x>0$
<=> $\log_{3}x+\log_{\sqrt{3}}x-\log_{\frac{1}{3}}x=6$
<=> $\log_{\sqrt{3}}x=6$
<=> $x=3^{3}=27$ ( t/m)
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=27$.
g) $\log_{\frac{x+8}{x-1}}=\log x$
Đk: $x>0,x-1\neq 0=>x\neq 1$
<=> $\frac{x+8}{x-1}=x$
<=> $x+8=x^{2}-x$
<=> $x^{2}-2x-8=0$
<=> $x=4$ (t/m)
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=4$.
**************************
Câu 8: Trang 90 – sgk giải tích 12
Giải các bất phương trình:
a) $2^{2x-1}+ 2x^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448$
b) $(0,4)^{x} – (2,5)^{x+1} > 1,5$
c) $\log_{3}\left [ \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1) \right ]<1$
d) $\log^{2}_{0,2}x-5\log_{0,2}x<-6$
Hướng dẫn giải:
a) $2^{2x-1}+ 2x^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448$
<=> $\frac{1}{2}2^{2x}+\frac{1}{4}2^{2x}+\frac{1}{8}2^{2x}\geq 448$
<=> $\frac{7}{2}2^{2x}\geq 448$
<=> $2^{2x}\geq 512$
<=> $2^{2x}\geq 2^{9}$
<=> $2x\geq 2^{9}$
<=> $x\geq \frac{9}{2}$
b) $(0,4)^{x} – (2,5)^{x+1} > 1,5$
<=> $(\frac{2}{5})^{x}-(\frac{5}{2}).(\frac{5}{2})^{x}>1,5$
Đặt $(\frac{2}{5})^{x}=t,(t>0)$
<=> $2t^{2}-3t-5>0$
<=> $t>\frac{5}{2}$
<=> $(\frac{2}{5})^{x}>\frac{5}{2}$
<=> $x<-1$
c) $\log_{3}\left [ \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1) \right ]<1$
<=> $\log_{3}\left [ \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1) \right ]<\log_{3}3$
<=> $0< \log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-1)<3$
<=> $\frac{1}{8}<x^{2}-1<1$
<=> $\frac{3}{2\sqrt{2}}<\sqrt{x}<\sqrt{2}$
d) $\log^{2}_{0,2}x-5\log_{0,2}x<-6$
Đặt $\log_{0,2}x=t(t>0)$
<=> $t^{2}-5t+6<0$
<=> $2<t<3$
<=> $2<\log_{0,2}x<3$
<=> $5^{-3}<x<5^{-2}$
==============
Trả lời