Giải bài tập Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit – SGK Giải tích 12 cơ bản

Giải bài 1 trang 77 SGK Giải tích 12. Vẽ đồ thị của các hàm số:

Đề bài

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y = 4^x\);

b) \(y= \left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\).

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị hàm số \(y = 4^x\)

*) Tập xác định: \(\mathbb R\)

*) Sự biến thiên:

\(y’ = {4^x}\ln 4 > 0,\forall x \in \mathbb R\)

– Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)

– Giới hạn đặc biệt:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \)

Tiệm cận ngang: \(y=0\).

– Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cắt trục tung tại các điểm \((0;1)\), đi qua điểm \((1;4)\) và qua các điểm \((\frac{1}{2}; 2)\), \((-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\), \((-1; \frac{1}{4})\).

b) Đồ thị hàm số \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\)

*) Tập xác định: \(\mathbb R\)

*) Sự biến thiên:

\(y’ = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{1}{4}} \right) =  – {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\ln 4 < 0\,\,\forall x \in R\)

– Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)

– Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \cr} \)

Tiệm cận ngang \(y=0\)

– Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm (0; 1), đi qua điểm (1; \(\frac{1}{4}\)) và qua các điểm (\(-\frac{1}{2}\); 2), (-1;4).

 

---

Giải bài 2 trang 77 SGK Giải tích 12. Tính đạo hàm của các hàm số:

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(y = 2xe^x +3sin2x\);

b) \(y = 5x^2- 2^xcosx\);

c) \(y = {{x + 1} \over {{3^x}}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(y’ = (2x{e^x})’ + 3(\sin 2x)’ \)

\(= 2.{e^x} + 2x({e^x})’+ {\rm{ }}3.2cos2x\)

\(=2\left( {1 + x} \right){e^x} + 6cos2x\)

b) \(\begin{array}{l}y’ = 5.2x – \left( {\left( {{2^x}} \right)’.\cos x + {2^x}.\left( {\cos x} \right)’} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 10x – \left( {{2^x}.\ln 2.\cos x – {2^x}.\sin x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 10x – {2^x}\left( {\ln 2\cos x – \sin x} \right)\end{array}\)

c) \(\begin{array}{l}y’ = \frac{{\left( {x + 1} \right)'{{.3}^x} – \left( {x + 1} \right).\left( {{3^x}} \right)’}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{3^x} – \left( {x + 1} \right){{.3}^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{{3^x}\left( {1 – \left( {x + 1} \right)\ln 3} \right)}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{1 – \left( {x + 1} \right)\ln 3}}{{{3^x}}}\end{array}\)

---

Giải bài 3 trang 77 SGK Giải tích 12. Tìm tập xác định của các hàm số:

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(y = lo{g_2}\left( {5 – 2x} \right)\) ;

b) \(y =lo{g_3}({x^2} – 2x)\) ;

c) \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\);

d) \(y= log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y = lo{g_2}\left( {5 – 2x} \right)\) xác định khi và chỉ khi:

\[5- 2x > 0\Leftrightarrow x < \frac{5}{2}.\]

Vậy hàm số \(y = lo{g_2}\left( {5 – 2x} \right)\) có tập xác định là \(D=\left( { – \infty ;{5 \over 2}} \right).\)

b) Hàm số \(y =lo{g_3}({x^2} – 2x)\) xác định khi và chỉ khi:

\[{x^2} – 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x \end{array} \right.\]

Vậy hàm số \(y =lo{g_3}({x^2} – 2x)\) có tập xác định là \(D=(-∞; 0) ∪ (2;+∞)\).

c) Hàm số \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\) xác định khi và chỉ khi

\[{x^2} – 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 3\\
x \end{array} \right.\]

Vậy hàm số \(y= log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\) có tập xác định là \(D=(-∞; 1) ∪ (3;+∞)\).

d) Hàm số \(y= log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\) xác định khi và chỉ khi:

\[\frac{3x+2}{1-x} > 0\Leftrightarrow (3x+2) (1-x) > 0\Leftrightarrow-\frac{2}{3} < x <1.\]

Vậy hàm số \(y = log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\) có tập xác định là \(D=\left( { – {2 \over 3};1} \right)\).

---

Giải bài 4 trang 78 SGK Giải tích 12. Vẽ đồ thị của các hàm số:

Đề bài

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y = logx\);

b) y = \(log_{\frac{1}{2}}x\).

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị hàm số \(y = logx\).

*) Tập xác định: \(D=(0;+\infty)\)

*) Sự biến thiên:

\(y’ = {1 \over {x\ln 10}} > 0,\forall x \in D\)

– Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

– Giới hạn đặc biệt:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = – \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \)

Hàm số có tiệm cận đứng là: \(x=0\)

– Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung) nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điểm \((10;1)\), \((\frac{1}{10}; -1)\).

b) Đồ thị hàm sốy = \(log_{\frac{1}{2}}x\).

*) Tập xác định: \(D=(0;+\infty)\)

*) Sự biến thiên:

\(y’ =  – {1 \over {x\ln 2}} < 0,\forall x \in D\)

– Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

– Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty \cr} \)

Hàm số có tiệm cận đứng \(x=0\).

– Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung (nhận trục tung làm tiệm cận đứng), cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điêm \((\frac{1}{2};1)\), điểm phụ \((2;-1)\), \((4.-2)\), \((\frac{1}{4}; 2)\).

---

Giải bài 5 trang 78 SGK Giải tích 12.

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(y =3{x^2}-lnx + 4sinx\);

b) \(y = log({x^2} + x+1)\);

c) \(y= \frac{log_{3}x}{x}\).

 

Lời giải chi tiết

a) \(y’ = 6x – {1 \over x} + 4cosx\).

b) \(y’= \frac{\left ( x^{2}+x+ 1 \right )^{‘}}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\) = \(\frac{2x+ 1}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\).

c) \(y’= \frac{\left ( log_{3}x^{} \right )^{‘}.x- log_{3}x.1}{x^{2}}\) = \(\frac{\frac{1}{x. ln3}.x-log_{3}x}{x^{2}}\) = \(\frac{1-ln3.log_{3}x}{x^{2}.ln3}\) = \(\frac{1-lnx}{x^{2}. ln3}\).

===============