Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa

Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục $Oxy$ như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi như một nhánh của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ và đường đi khi đó ứng với đường thẳng $\left( d \right):y=-x+4$. Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Đáp án: $1,92$.

Gọi $\left( {{d}_{1}} \right):y=-x+m$ (với $m{>}4$ ) song song với $\left( d \right):y=-x+4$ và cắt $(C):y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $B,C$ ( ${{x}_{B}};{{x}_{C}}{>}1$ )

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $(C)$ : $\dfrac{2x+1}{x-1}=-x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m+1=0.$

$\Delta ={{m}^{2}}-6m-3{>}0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

m{>}3+2\sqrt{3} \\

m{<}3-2\sqrt{3} \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow m{>}3+2\sqrt{3}$ (vì $m{>}4$ ) (1)

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}

{{x}_{C}}+{{x}_{B}}=m-1 \\

{{x}_{C}}.{{x}_{B}}=m+1 \\

\end{array} \right.$

Suy ra: $CB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right)}^{2}}+{{\left( -{{x}_{B}}+m+{{x}_{C}}-m \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right)}^{2}}}$

$\Rightarrow C{{B}^{2}}=2{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{x}_{B}}+{{x}_{C}} \right)}^{2}}-8{{x}_{B}}.{{x}_{C}}=2{{m}^{2}}-12m-6$

Mặt khác chọn $I\left( 0;4 \right)\in \left( d \right)$, ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left( d \right);\left( {{d}_{1}} \right)$ bằng $AB=d\left( I;\left( {{d}_{1}} \right) \right)=\dfrac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{m-4}{\sqrt{2}}$

Để $ABCD$ là hình vuông thì $A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( m-4 \right)}^{2}}}{2}=2{{m}^{2}}-12m-6\Leftrightarrow m=\dfrac{8\pm 2\sqrt{37}}{3}$

Kết hợp điều kiện (1) suy ra $m=\dfrac{8+2\sqrt{37}}{3}$

Vậy khoảng cách giữa hai cột đèn bên bờ hồ bằng $\dfrac{\dfrac{8+2\sqrt{37}}{3}-4}{\sqrt{2}}\approx 1,92.$