Trong không gian cho (2n ) điểm phân biệt (n > 4,n thuộc N), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong (2n ) điểm đó, có đúng (n ) điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có (4 ) điểm nào ngoài (4 ) điểm trong (n ) điểm này đồng phẳng. Tìm (n ) sao cho từ (2n ) điểm đã cho tạo ra đúng (201 ) mặt phẳng phân biệt.

Số cách chọn 3 điểm trong 2n điểm phân biệt đã cho là \(
C_{2n}^3\)

Số cách chọn 3 điểm trong n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng là \(
C_{n}^3\)

Số mặt phẳng được tạo ra từ 2n điểm đã cho là \(
C_{2n}^3 – C_n^3 + 1\)

Như vậy:  

\(\begin{array}{l}
C_{2n}^3 – C_n^3 + 1 = 201 \Leftrightarrow \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{3!\left( {2n – 3} \right)!}} – \frac{{n!}}{{3!\left( {n – 3} \right)!}} + 1 = 201\\
\Leftrightarrow \frac{{2n\left( {2n – 1} \right)\left( {2n – 2} \right)}}{6} – \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)}}{6} = 200\\
\Leftrightarrow 2n\left( {2n – 1} \right)\left( {2n – 2} \right) – n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right) = 1200\\
\Leftrightarrow 7{n^3} – 9{n^2} + 2n – 1200 = 0 \Leftrightarrow \left( {n – 6} \right)\left( {7{n^2} + 33n + 200} \right) = 0\\
\Leftrightarrow n = 6
\end{array}\)